Правило

По правилам должно быть так:

если это глагол, то пишите раздельно: back up, log in;
если это существительное, то пишите слитно: backup, login.

Допустимо ли использовать дефис вместо пробела? Большинство писателей говорит «нет».

К вопросу о кнопках

На формах авторизации можно встретить как 'login', так и 'log in':

 

Так как кнопка подразумевает действие, то правильнее будет 'Log in'. Сама форма или вкладка авторизации при этом может называться 'Login' (т. е. «Вход»):