Математика
yandex.ru
10 сложнейших математических задач, с которыми академики бьются и по сей день На протяжении веков лучшие умы человечества решали одну математическую задачу за другой, однако есть несколько, не поддавшихся до сих пор никому. За нахождение алгоритма их решения некоторые фонды и компании готовы заплатить большие деньги. Гипотеза Коллатца. Другие названия: гипотеза 3n+1, сиракузская проблема, числа-градины. Если взять любое натуральное число n и совершить с ним следующие преоб...
Подгруженный файл
Где же логика: большой разбор 20ти главных парадоксов науки и философии В чем вообще парадокс? Парадокс, иногда называемый антиномией, - это утверждение, которое имеет логически обоснованную предпосылку, но приходит к выводу, который кажется бессмысленным, абсурдным, противоречивым или противоположным ожидаемому результату. Это может быть ситуация, которая приводит к двум противоположным, но вполне возможным результатам. Или это может быть так же просто, как предложение, к...
dzen.ru
Дробная производная? Оказывается, есть и такое. Покажу на очень простом примере Квадратное уравнения имеет 4 корня, число Пи может быть равно 2, факториал можно вычислить для нецелого аргумента - обо всё этом я писал на своём канале...Сегодня я хочу выдать Вам еще один замечательный математический этюд. Давайте подумаем, как возвести число в 4-ю степень? Ну , например, сначала возвести в квадрат, а затем еще раз; или же возвести в 8-ю степень, а потом в степень 1/2. Ничего...
dzen.ru
Математический закон, в который сложно поверить, но он работает и помогает ловить мошенников — Закон Бенфорда Каков шанс, что любое случайно взятое из какой-нибудь энциклопедии, книги или газеты число начнется с цифры "1"? А с цифры "3"? А с цифры "9"? Даже если ты не имеешь никакого понятия о теории вероятности, чисто интуитивно кажется, что шанс одинаков для каждой цифры и равен 100:9=11,(11)%. Но нет, это не так. Если посмотреть на реальные числа, которые встречаются в ...
dzen.ru
Математическая абстракция, на которой основано почти всё, - полугруппа Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Для того, чтобы понять суть и познать красоту явления, о котором я сейчас хочу рассказать, не требуется буквально никаких знаний. Тем не менее, после прочтения Вы сможете с гордостью для себя осознать, что Вы только что прикоснулись к абсолютно фундаментальному понятию общей алгебры, возникающему в громадном количестве приложений: как математических, так и практичес...
yandex.ru
10 сложнейших математических задач, с которыми академики бьются и по сей день На протяжении веков лучшие умы человечества решали одну математическую задачу за другой, однако есть несколько, не поддавшихся до сих пор никому. За нахождение алгоритма их решения некоторые фонды и компании готовы заплатить большие деньги. Гипотеза Коллатца. Другие названия: гипотеза 3n+1, сиракузская проблема, числа-градины. Если взять любое натуральное число n и совершить с ним следующие преоб...
dzen.ru
Математическая абстракция, на которой основано почти всё, - полугруппа Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Для того, чтобы понять суть и познать красоту явления, о котором я сейчас хочу рассказать, не требуется буквально никаких знаний. Тем не менее, после прочтения Вы сможете с гордостью для себя осознать, что Вы только что прикоснулись к абсолютно фундаментальному понятию общей алгебры, возникающему в громадном количестве приложений: как математических, так и практичес...
dzen.ru
Счастливые числа Эйлера: их всего шесть на бесконечность! Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня речь пойдет об очень простой закономерности, которую, как обычно это бывает в математике, обнаружил Леонард Эйлер. Главным героем нашего короткого повествования является ничем не примечательный двучлен вида: Эйлер, изучая алгебраические проблемы, связанные с числовыми полями как-то заметил, что, если принять n=41, то для всех m, меньших его, значение двучлена является пр...
dzen.ru
Основное понятие математики, о котором рано говорить в школе, а в институте - уже поздно Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня я хочу заняться с Вами исключительной математикой. Итак, давайте начнем с того, что зададим себе вопрос: "А что, собственно, изучает математика (математические направления)? Самым формальным ответом на вопрос будет следующее утверждение: Математика - это наука об отношениях между объектами Первая ассоциация, когда встречаешь это определение,...
dzen.ru
Новый удар по школьной математике Будущее наступило, старик. Приложение Фотомас (Photomath), больше 100 миллионов установок по всему миру. Катастрофу вы можете наблюдать на трёх скриншотах, которые я прикрепил к посту.
Шаг первый — пишу на бумаге задачку из ЕГЭ. Шаг второй — сканирую уравнение Фотомасом. Шаг третий — получаю не только ответ, но и подробно расписанный ход решения. Я великолепен: можно бежать во двор, снимать для Тик-Тока челлендж «едим песок».
Приложение...
dzen.ru
Что будет если мнимое число возвести в мнимую степень? Что ни говори, математика - невероятная наука. Порою в ней находятся столь удивительные свойства, которые не поддаются логическому объяснению. Чего только стоит доказательство того, что сумма всех натуральных чисел равна -1/12... Я бы хотел рассказать о другом интересном свойстве. Что будет, если мнимое число возвести в мнимую степень?.. На первый взгляд, все это дело выглядит как самое что ни на есть мнимое число. Но...
dzen.ru
Сегодня вы поймёте, что такое интеграл в математике Недавно мы разобрали, что такое знаки Σ и П в математике — это операции, которые, по сути, похожи на циклы в программировании. В одном случае мы складывали много чисел по определённому принципу, а в другом — умножали. Сегодня посмотрим на интеграл ∫ — что это такое и какой цикл можно сделать из него. Но сначала: что такое функция Интегралы в математике всегда связаны с функциями, поэтому сначала поговорим про них. Функц...
dzen.ru
Математическая абстракция, на которой основано почти всё, - полугруппа Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Для того, чтобы понять суть и познать красоту явления, о котором я сейчас хочу рассказать, не требуется буквально никаких знаний. Тем не менее, после прочтения Вы сможете с гордостью для себя осознать, что Вы только что прикоснулись к абсолютно фундаментальному понятию общей алгебры, возникающему в громадном количестве приложений: как математических, так и практичес...
dzen.ru
Гений Георг Кантор и ошеломляющие свойства его актуальных бесконечностей. Революция в математике в 19 веке "...лучший продукт математического гения и одно из высших достижений чисто интеллектуальной человеческой деятельности" великий Дэвид Гильберт о достижениях Кантора в математике Кантор дал математическое содержание идее актуальной бесконечности. Разработка им теории множеств за счет включения понятия актуальной бесконечности означало, по сути, революцию в истории мате...
dzen.ru
Высоты - нет, площади - нет, а объем есть. Парадоксальная математика Очередной зубодробительный парадокс из бесконечного мира Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Про парадоксы, возникающие в математике по причине использования бесконечностей уже даже на моём канале сказано очень много: здесь гостили и парадокс бесконечного отеля и апории Зенона, и другие "каверзные" утверждения, касающиеся, например, равномощных множеств... Сегодня я хочу развить тему и показать Вам на пр...
dzen.ru
Жемчужины мира чисел - числа Серпинского. Даже сейчас они таят загадки Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Достаточно давно я не касался темы удивительных чисел - таких, которые могут и не нести никакого практического смысла, но само существование которых является удивительным фактом. Сегодня у нас числа, названные в честь польского математика Вацлава Серпинского. Давайте разберемся, что же в них особенного. Началось всё, как обычно бывает в теории чисел, с праздного инт...
dzen.ru
Невероятное утверждение, которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть, - теорема Гудстейна Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня я хочу с Вами поговорить об одном из самых удивительных, контринтуитивных и парадоксальных математических суждений, которые Вы вообще повстречаете в своей жизни. Несмотря на простоту формулировки (для её понимания требуется только уметь производить простейшие арифметические операции), эта теорема имеет просто фундаментальное не только мате...
dzen.ru
Сегодня вы поймёте, что такое интеграл в математике Недавно мы разобрали, что такое знаки Σ и П в математике — это операции, которые, по сути, похожи на циклы в программировании. В одном случае мы складывали много чисел по определённому принципу, а в другом — умножали. Сегодня посмотрим на интеграл ∫ — что это такое и какой цикл можно сделать из него. Но сначала: что такое функция Интегралы в математике всегда связаны с функциями, поэтому сначала поговорим про них. Функц...
dzen.ru
2000 лет и никакого толка: одна из задач математики, про которую не пишут в СМИ Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня мы поговорим о сражении, которое длится еще со времен Евклида. О сражении, перспективы завершения которого настолько туманны, что попытки победить или проиграть в нём одинаково бесперспективны. Речь идёт о поиске хотя бы одного нечетного совершенного числа или же доказательства, что таких чисел не существует. Давайте немного проникнемся вопросом. По...
dzen.ru
Удивительная функция, у которой нет производной. Такое может быть! Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня я хочу рассказать Вам о чрезвычайно простой, но часто применяемой в математике функции, у которой не существует производной. Странно, неправда ли? Ведь мы привыкли, что если производную не получается найти, то причина в кривых руках. Однако наша гостья не оставит Вам никаких шансов. Встречайте: Эта функция, которую называют знаковой функцией записывается алгебраи...
yandex.ru
«Можно ли придумать алгебру, позволяющую деление на ноль?» – Яндекс.Кью 17 августа 2019 Надежда Шихова ответила: Если коротко, то ее уже придумали. Но тут надо хорошо понимать, что когда мы что-то находим в одном месте, тут же что-то теряем в другом.
Вот, например, у нас есть действительные числа, мы хотим извлекать из них квадратные корни, но из отрицательных чисел корни не извлекаются. Введем комплексные числа. Теперь корни есть всякие разные, но по дроге мы потеряли с...
dzen.ru
Что означает предел в математике Сага о погрешностях при участии слова lim Кто о чём, а мы продолжаем разбирать сложную математику, чтобы она не была такой сложной. Что такое предел в математике Когда математики говорят о пределах, то имеют в виду такую последовательность событий: 👉 Стремиться — значит стараться приблизиться к какому-то числу, но не достигнуть его. Если мы говорим, что переменная функции стремится к бесконечности, то это значит, что с каждым новым выч...
dzen.ru
Главный парадокс бесконечности в красивой математической задаче. Почувствуйте сами! Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня я хочу поделиться с Вами замечательной задачкой, решение которой использует главный парадокс бесконечности - "часть равняется целому". Итак, нужно найти значение выражения: Первый трюк заключается в том, что мы рассмотрим сумму с единицами в числителе и найдем, чему она равна: Обожаю такие "финты"! Но дальше нас ждёт еще более красивый подход! И...
dzen.ru
Парадоксальное колесо Аристотеля, над которым бились лучшие умы человечества Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня я хочу поговорить с Вами об удивительном математико-механическом парадоксе, который впервые описал великий Аристотель в традиционно приписываемом ему труде "Механика". Вот как его можно сформулировать Колесо изображается в двумерном пространстве в виде двух кругов. Его больший внешний круг расположен по касательной к горизонтальной поверхности (наприм...
dzen.ru
Дробная производная? Оказывается, есть и такое. Покажу на очень простом примере Квадратное уравнения имеет 4 корня, число Пи может быть равно 2, факториал можно вычислить для нецелого аргумента - обо всё этом я писал на своём канале...Сегодня я хочу выдать Вам еще один замечательный математический этюд. Давайте подумаем, как возвести число в 4-ю степень? Ну , например, сначала возвести в квадрат, а затем еще раз; или же возвести в 8-ю степень, а потом в степень 1/2. Ничего...
dzen.ru
Теорема тангенсов. Вы вообще слышали про неё? Приветствую Вас, уважаемые Читатели! В школе каждый из Вас обязательно встречался с теоремами синусов и косинусов. Вот их формулировки, если кто забыл: Но кто из Вас слышал о теореме тангенсов, ведь она же напрашивается по аналогии! И действительно, такая формулировка существует, а сейчас покажу Вам её простой вывод! Поехали! Использовать будет теорему синусов. Положим: А теперь рассмотрим такое выражение: Используем известные ...
dzen.ru
В математике есть 9 (!!!) факториалов. Все они - в этой статье Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Итак, сегодня хочу рассказать об удивительном математическом зоопарке факториалов. Оказывается, кроме привычной для всех операции, есть еще целых 8 вариантов. Поехали! 1. Факториал Возникает естественным образом в комбинаторике - науке, в которой изучаются задачи, связанные с выбором и расположением различных элементов чаще всего конечных множеств. Подробнее о его происхожде...
dzen.ru
Это уравнение не решить без воображения. Зовём на помощь геометрию, иначе провал Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня я хочу показать Вам задачку, которую традиционными алгебраическими способами решить очень сложно. Одна её формулировка у неподготовленного Читателя вызовет страх и ужас: У нас было: четыре переменных, два уравнения, четыре квадратных корня и пара чисел в правой части... Помочь решить эту задачу призываем Бога геометрии! Слагаемые во втором уравнени...
dzen.ru
Почему производная экспоненты равна ей самой? Самое простое доказательство на пальцах Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Я уверен, что многие из Вас из школьного курса математики прекрасно помнят чудесную функцию - экспоненту, производная которая, сколько бы её не брать, равняется исходной функции. Однако, многие ли из Вас знают, почему так происходит? Сегодня я хочу это рассказать на максимально простом языке, доступном даже 10-класснику. Поехали! Рассмотрим две показат...
dzen.ru
Самый изящный интегральный трюк от Нобелевского лауреата. Его точно осилит школьник Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Решение интегралов - это истинное математическое искусство! Я уже несколько раз на своём канале показывал Вам, как, с первого взгляда страшнейшие интегралы, с помощью изящных методов решаются легко и просто (порой, даже устно). Сегодня я хочу остановиться на способе нахождения интегралов, который назван в честь Нобелевского лауреата по физике, американс...
dzen.ru
Одна из самых красивых формул тригонометрии. 99% её никогда не видели Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Какие тригонометрические формулы всегда на слуху, и в то же время блещут своей красотой? Даже искушенный Читатель в первую очередь назовёт формулу Муавра, которая позволяет нам с легкостью возводить в степень комплексные числа: Так же можно вспомнить основное тригонометрическое тождество, куда же без него... Можно, конечно, вспомнить еще и тригонометрические теоремы и...
dzen.ru
Самый изящный интегральный трюк от Нобелевского лауреата. Его точно осилит школьник Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Решение интегралов - это истинное математическое искусство! Я уже несколько раз на своём канале показывал Вам, как, с первого взгляда страшнейшие интегралы, с помощью изящных методов решаются легко и просто (порой, даже устно). Сегодня я хочу остановиться на способе нахождения интегралов, который назван в честь Нобелевского лауреата по физике, американс...
dzen.ru
Геометрическая теорема, имеющая огромную практическую ценность: от металлургии до генетики Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Мир геометрических теорем полон красоты. Вот и сегодня я расскажу Вам о простейшей теореме (доказательство доступно шестикласснику!), которая относится к святая святых геометрии - равностороннему треугольнику. Замечательно то, что это не просто теоретическая выкладка, а реально использующаяся в генетике, машиностроении, почвоведении, металлургии ...
dzen.ru
Уравнение 9-ой степени для сильных духом с самой необычной заменой переменной Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня хочу предложить Вам решить замечательное уравнение 9-ой степени. Задачка не для слабонервных: нам предстоят несколько замен переменных и решение странноватых квадратных уравнений. Поехали! Самая явная замена переменной здесь никакого результата не даст. Давайте начистоту: даст, получим приведенное кубическое уравнение, которое "запросто" решается через...
hightech.fm
Три самые известные математические константы: как они появились и зачем нужны В основе нашей Вселенной стоят числа, также известные как фундаментальные константы. Они показывают, как движутся галактики, как расширяется Вселенная, как вообще работает пространство и время. Рассказываем, кто их открыл и за что отвечает каждое число.
dzen.ru
Первая и самая важная задача вычислительной геометрии. Задача о расположении точки В одном из прошлых материалов я рассказывал Вам о шуточной теореме о большой точке (ссылка на неё будет в конце материала, т.к. Дзен блокирует статьи, в которых в описание попадает ссылка). Точка и сегодня будет героем нашей повести, но говорить будем о такой науке как вычислительная геометрия - отрасли знаний, в которой рассматриваются алгоритмы решения геометрических задач. В университетск...
dzen.ru
Решение Шварцшильда в ОТО Это решение, пожалуй, самое важное: оно описывает гравитацию небесных тел (но не только поэтому). И черных дыр тоже, но только невращающихся и незаряженных. Но не только черных дыр! Смещение перигелия планет и линзирование лучей оно тоже описывает, хотя Эйнштейн вычислил величину этих эффектов иначе, не решая уравнений для метрики. Метрику нашел Шварцшильд в 2016 г. Хотя, например, Рашевский Шварцшильда не упоминает вовсе. Но он и космологические ...
dzen.ru
О космологической постоянной и философском смысле решения Фридмана Эта заметка продолжает серию о космологическом решении Фридмана. В предыдущей мы разобрали, как оно получается из космологического принципа (Вселенная однородна на больших масштабах) и уравнения Эйнштейна. Но там не было космологической постоянной. Добавим? С ней вообще было интересно. Изначально ее в уравнении, конечно, не было. Потом Фридман получил свое решение и доказал, что Вселенная, при весьма общих ...
dzen.ru
Почему в мнимой единице нет ничего мнимого? Истинная природа комплексных чисел Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня хочу продолжить на тему комплексных чисел, обратившись к их истинной природе. Наиболее частым заблуждением относительно них является непризнание их числами, эфемерность и абстрактность. В этом материале я постараюсь показать Вам (не углубляясь в алгебру с её полями), что комплексные числа- такие же числа, как и те, которые мы привыкли использовать в ...
dzen.ru
Как избежать решения уравнения четвертой степени? Математика онлайн. Доступно о сложном. Серия «Нестандартные задачи» Здравствуйте, уважаемые любители математики! Ищем способ решения уравнения Перед нами уравнение четвертой степени, следовательно, оно имеет не более четырех действительных корней. Если внимательно посмотреть на уравнение, то можно заметить, что в левой части стоят четыре последовательных числа. Так как 15 невозможно представить в виде произведения четырех ...
dzen.ru
Задача для поступающих в ВУЗы, которую легко решит девятиклассник Сегодня мы разберем задачу, предлагаемую абитуриентам одного ВУЗа для подготовки к вступительным испытаниям. Задача совсем несложная и решается буквально за минуту, если применить небольшую хитрость. Текст задания представлен на картинке Здравствуйте, дорогие любители математики. Вы находитесь на канале Trifler, где я разбираю интересные математические задачи. Если Вы еще не подписаны на канал, то самое врем...
dzen.ru
Система трансцендентных уравнений с параметром - школьникам Математика онлайн. Доступно о сложном. Серия «Нестандартные задачи» Здравствуйте, уважаемые любители математики! Упрощаем систему Начнем с введения новых переменных. Теперь имеем систему линейных алгебраических уравнений. Решаем систему Поскольку задача ориентирована на учеников старших классов, то методы линейной алгебры (например, способы Крамера, Гаусса) использовать не будем. Вместо этого «поиграем» с уравнени...
dzen.ru
Идеал геометрической красоты - теорема Сильвестра. Её доказали за 51 год, но ощутили гениальность позже Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня хочу рассказать о теореме, тронувшей, не побоюсь этого слова, все струны моей души. Речь пойдет о гипотезе 1883 года за авторством английского математика Джона Сильвестра. В оригинальной формулировке она звучит так: Дан конечный набор точек на плоскости такой, что для любых двух из них найдется третья, лежащая с ними на одной...
dzen.ru
Найти площадь квадрата, если нет стороны. Вроде - неприступная крепость, но решается просто Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Продолжаем тему решения различных интересных геометрических задач, для победы над которыми не требуется знаний, выходящих за рамки стандартной школьной программы 7-9 класса, но содержащих определенную изюминку. Итак, требуется найти площадь квадрата, "вписанного" в треугольник, если известно, что стороны треугольника находятся в пропорции 3:4:5....
dzen.ru
Что такое логарифмическое дифференцирование? Математика онлайн. Доступно о сложном. Серия «Лайфаки для студентов» Здравствуйте, уважаемые любители математики! Конечно же, производную можно было бы вычислить при помощи обычных формул. Однако этот способ весьма трудоемкий. Логарифмирование же позволяет привести функцию к виду, более удобному для дифференцирования. В этом и заключается значение логарифмической производной. Логарифмирование Сначала разберем все этапы решения н...
dzen.ru
6-я и 4-я степени под знаком интеграла. Олимпиадное задание Математика онлайн. Доступно о сложном. Серия «Задачи студенческих олимпиад» Здравствуйте, уважаемые любители математики! Можно, конечно же, разложить подынтегральную функцию на элементарные дроби. Однако этот способ приводит к громоздким вычислениям. Решим по-другому. Заметим, прежде всего, что знаменатель можно разложить по формуле суммы кубов. Далее, внимательно посмотрев на неполный квадрат суммы, увидим, что ...
dzen.ru
Открытое множество. Вы еще не знаете, насколько фундаментально это понятие Теория множеств - это фундамент математики. Её основы дают еще в школе, да и я останавливался уже на самых простых определениях (цикл статей с самых азов) Определение открытого множества выходит за рамки школьной программы просто потому, что его там негде применять, особенно сейчас, когда школьное математическое образование заточено под узкоспециализированную задачу сдачи ЕГЭ. Тем не менее, в этом п...
dzen.ru
Одно из важнейших, но простых утверждений в математике. Постулат Бертрана Поиски адекватных формул распределения простых чисел - одно из важнейших направлений теоретической математики, таящее в себе множество подводных камней. Чего только стоит удивительное число Скьюза, которое научит Вас никогда не верить недоказанным тенденциям и закономерностям, как бы убедительными они не звучали. Сегодня я хочу рассказать про удивительно простое, но в то же время, фундаментальное утв...
dzen.ru
Неравенство Птолемея. Он описал не только геоцентрическую систему мира, но и запомнился в математике Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня хочу рассказать Вам о неравенстве, которое подарил миру Клавдий Птолемей - греческий астроном, трудившийся во втором веке нашей эры уже на закате эллинистической науки. Тем не менее, равных ему в изучении небесных тел не было более тысячи лет: его "Альмагест" оставался настольной книгой для астрономов на протяжении тринадцати ст...
mel.fm
Летний пирог с ягодами и хрустящей корочкой: его легко готовить и можно есть с мороженым Что может быть лучше летнего вечера на дачной веранде или на городском балконе — с чаем и пирогом из свежих ягод? Сегодня мы предлагаем вам испечь пай — очень ягодный и очень нежный пирог с хрустящей корочкой, который обожают американские дети (да и взрослые). И это тот случай, когда нам с ними вообще не о чем спорить.